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Systèmes dynamiques

Sensibilité aux conditions initiales

Fonctions quadratiques

dimanche 23 octobre 2005, par Bernard Vuilleumier

L’animation donne une interprétation géométrique de la composition réitérée d’une fonction quadratique avec elle-même. Elle met en parallèle deux évolutions partant de conditions initiales très voisines et aboutissant à des points très éloignés.

Comparaison de deux évolutions
L’orbite obtenue par itération d’une fonction quadratique est sensible aux conditions initiales.

 

Activités proposées

La parabole qui coupe l’axe Ox en 0 et en 1 et dont l’ordonnée du sommet est également comprise entre 0 et 1 selon la valeur du paramètre r, est définie par la fonction f(x) = rx(1-x). Lorsqu’une fonction est composée n fois avec elle-même on dit qu’elle est itérée n fois.
– Observez attentivement l’animation et expliquez comment on peut composer graphiquement la parabole avec elle-même plusieurs fois de suite.
– Combien de fois la parabole est-elle itérée dans l’animation ?
– Calculez la suite des valeurs obtenues lorsque r = 4 en partant de :

  1. x = 0.24
  2. x = 0.241

– Établissez les graphiques donnant ces valeurs en fonction de n.