Dynamique
Le saut à l’élastique
Oscillateur harmonique amorti

Utilisation de Stella pour résoudre numériquement le problème du saut à l’élastique sans parler d’équation différentielle.

Article mis en ligne le 17 novembre 2005
dernière modification le 23 juin 2007

Le logiciel Stella permet de résoudre numériquement des problèmes qui font intervenir des équations différentielles sans qu’il soit nécessaire d’en parler. Le saut à l’élastique par exemple peut être traité en utilisant uniquement la relation fondamentale de la dynamique F=ma.

On souhaite étudier un saut à l’élastique depuis le barrage-voûte hydroélectrique de Contra, haut de 220 m et situé dans le val Verzasca au Tessin. Un homme de masse m saute du haut du barrage. Il est soumis à la force de pesanteur et à une force de frottement proportionnelle à la vitesse Ffrott=-bv. On fixe l’origine z=0 de l’axe orienté vers le bas à la hauteur du tremplin. Une force de rappel Frappel=-k(z-z0)) commence à agir dès que l’élastique est tendu. z0 désigne la position du sauteur lorsque la force de rappel commence à agir.

Après une chute de 5 secondes, l’élastique est tendu et la force de rappel commence à agir. Sachant que le sauteur quitte le tremplin avec une vitesse initiale nulle, calculez :
- la vitesse du sauteur après 5 secondes
- la longueur de l’élastique au repos
- la fréquence de l’oscillation amortie
- la hauteur à laquelle se trouve le sauteur une fois à l’arrêt
- l’allongement maximal de l’élastique
- la distance minimale entre le sauteur et le sol.

Données numériques : g=10 m/s2, m=70 kg, b=14 kg/s et k=70 N/m

Barrage de Contra des Forces Motrices de Verzasca (TI, Suisse)

Utilisation de Stella

Le logiciel permet de résoudre numériquement le problème et de calculer les réponses avec le modèle suivant :

Carte du modèle Stella
Le modèle permet de résoudre numériquement le problème et d’apporter les réponses aux questions posées.

Définition des relations

vitesse(t) = vitesse(t - dt) + (a) * dt
INIT vitesse = 0
INFLOWS:
a = IF TIME < 5 THEN  (-b*vitesse)/m+g ELSE (-k*(z-z0)-b*vitesse)/m+g
z(t) = z(t - dt) + (v) * dt
INIT z = 0
INFLOWS:
v = vitesse
b = 14
g = 10
k = 70
m = 70
z0 = 91.97

N.B. La valeur de z0 s’obtient en simulant la chute sur une durée de 5 s. La valeur indiquée a été obtenue par la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 avec un pas dt=0.1 s.


Pour en savoir plus
- Saut à l’élastique : équations différentielles et solutions générales

Voir aussi :
- L’oscillateur harmonique
- Oscillateur harmonique
- Rotation et oscillation
- Circuit électrique et oscillateur harmonique
- Oscillations
- Exercices sur les oscillations harmoniques