Cinématique vectorielle
Vecteur position, vecteur vitesse et vecteur accélération
Horaires

Obtention des vecteurs position, vitesse et accélération d’un mobile à partir de son horaire

Article mis en ligne le 12 septembre 2006
dernière modification le 7 décembre 2014

par Bernard Vuilleumier

Exercice extrait de J.-A. Monard, Mécanique.

Un mobile se déplace selon l’horaire :

En dérivant l’horaire donnant le vecteur position par rapport au temps, on obtient l’horaire donnant le vecteur vitesse :

Et en dérivant l’horaire donnant le vecteur vitesse par rapport au temps, on obtient l’horaire donnant le vecteur accélération :

Chacune de ces égalités vectorielles peut s’écrire en composantes :

- x(t) = 0.1 t3 - 0.4 t
- y(t) = 0.8 t

- vx(t) = 0.3 t2 - 0.4
- vy(t) = 0.8

- ax(t) = 0.6 t
- ay(t) = 0

Définissons l’horaire r(t) dans Mathematica et calculons les composantes du vecteur position. Les composantes du vecteur vitesse s’obtiennent en dérivant une fois cet horaire par rapport au temps v(t) = r’(t) et les composantes du vecteur accélération en le dérivant deux fois a(t) = r’’(t).

N. B. Le code qui se trouve dans les cadres ci-dessous peut être copié collé dans Mathematica pour être exécuté.

En copiant-collant le code ci-dessus dans Mathematica et en l’exécutant, on obtient le tableau qui donne les composantes de chaque vecteur en fonction du temps :

>

Le code ci-dessous permet d’obtenir les représentations graphiques de ces vecteurs :

>

Vecteur position. vecteur vitesse et vecteur accélération

Vecteur position. vecteur vitesse et vecteur accélération : en bleu, vecteur position, en vert, vecteur vitesse et en rouge vecteur accélération du mobile.