Relativité
Comment trouver les coefficients de la transformation de Lorentz ?
Les conséquences de l’invariance de l’intervalle

Obtention des coefficients de la transformation de Lorentz uniquement en postulant l’invariance de l’intervalle.

Article mis en ligne le 30 octobre 2005
dernière modification le 22 novembre 2007

par Bernard Vuilleumier

Les coefficients de la transformation de Lorentz sont déterminés par l’invariance de l’intervalle qui exprime le deuxième postulat de la relativité restreinte. En considérant deux événements et leurs coordonnées dans deux systèmes de référence en mouvement relatif uniforme et en utilisant cette invariance, on trouve les coefficients de la transformation qui exprime le passage d’un référentiel à l’autre.

Notons (x, t) les coordonnées d’un événement dans le système de référence ∑ et ( x’, t’) les coordonnées du même événement dans le système de référence ∑’. v est la vitesse relative des systèmes selon Ox. Admettons que la transformation permettant d’exprimer les coordonnées dans ∑’ à partir de celles dans ∑ s’écrit :

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Définition des deux événements utilisés

Lorsque les origines des deux systèmes de référence coïncident, il se produit, à l’origine des systèmes, l’événement E_0. Au temps t (temps mesuré en m dans ∑), il se produit, à l’origine de ∑, l’événement E_1.

Questions

1. Les coordonnées d’un événement, comme les coordonnées d’un point, peuvent être considérées comme les composantes d’un vecteur. Comment faut-il écrire les composantes d’un événement pour que le carré de la norme du vecteur qui le représente donne (t^2-x^2) ?

2. Écrivez les coordonnées des événements E_0 et E_1dans les deux systèmes ∑ et ∑’.

3. Exprimez x’ à l’aide de v de c et de t’ puis utilisez l’invariance de l’intervalle pour obtenir t’ en fonction de v de c et de t.

4. Exprimez ensuite x’ à l’aide de la relation x’ = v/ct’.

5. Exprimez les coordonnées x’ et t’ de l’événement E_1 en fonction de ses coordonnées dans ∑ à partir de :

[Graphics:HTMLFiles/97_14.gif]

6. Comparez les valeurs de x’ et t’ à celles obtenues. Déduisez la valeur des coefficients b et e de cette comparaison.

7. Exprimez les coordonnées x et t d’un événement quelconque E en fonction de ses coordonnées dans ∑’.

8. Calculez, à partir de ces coordonnées (x, t) l’intervalle (t^2-x^2).

9. Identifiez le coefficient de t^2.

10. Identifiez le coefficient de xt.

11. Identifiez le coefficient de x^2.

12. Résolvez les équations fournies par 9, 10 et 11 pour obtenir les coefficients a et d.

Autre approche traitant le cas général à quatre dimensions


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