Matrices
Transformations exprimées à l’aide de matrices
Rotation, transformation de Galilée et transformation de Lorentz

Les rotations dans le plan, la transformation de Galilée et celle de Lorentz peuvent s’exprimer à l’aide de matrices.

Article mis en ligne le 7 novembre 2005
dernière modification le 3 décembre 2007

par Bernard Vuilleumier

La transformation de Galilée peut s’obtenir comme limite de la transformation de Lorentz. Les rotations et la transformation de Lorentz laissent chacune une grandeur invariante : la distance pour les rotations et l’intervalle pour la transformation de Lorentz.

Rotation

Quatre points ont les coordonnées :

dans un système de référence ∑. Dans un autre système de référence ∑’, ils ont les coordonnées :

a) Vérifiez que la distance séparant ces points de l’origine est la même dans les deux systèmes de référence.
b) De quel angle ∑’ a-t-il tourné par rapport à ∑ ?

Rotation. Corrigé

a) La distance entre le point (x, y) et l’origine est donnée par :

b) Définissons la matrice de rotation du point autour de l’origine mr  :

En résolvant l’équation :

on obtient la rotation subie par le point. Le système de référence a donc subi une rotation de sens opposé de -Pi/6

Transformation de Galilée

Quatre événements ont les coordonnées :

dans un système de référence ∑. Dans un autre système de référence ∑’, ils ont les coordonnées :

A quelle vitesse le système ∑’ se translate-t-il par rapport à ∑ ?

Galilée. Corrigé

b) Définissons la matrice de la transformation de Galilée mG  :

a) En résolvant l’équation :

on obtient la vitesse de translation.
N. B.
Il faut choisir un événement dont la coordonnée temporelle est différente de 0.

Transformation de Lorentz

Quatre événements ont les coordonnées :

dans un système de référence ∑. Dans un autre système de référence ∑’, ils ont les coordonnées :

a) Vérifiez que l’intervalle séparant ces points de l’origine est le même dans les deux systèmes de référence.
b) A quelle vitesse le système ∑’ se translate-t-il par rapport à ∑ ?
c) Si on exprime la matrice de la transformation sous la forme :

\left(
\begin{array}{cc}
 \cosh  \theta  & -\sinh  \theta  \\
 -\sinh  \theta  & \cosh  \theta 
\end{array}
\right)

que vaut l’angle θ ?

Lorentz. Corrigé

a) L’intervalle séparant les événements de l’origine est conservé par la transformation :

b) c) Définissons la matrice de la transformation :

et résolvons l’équation :

d) Il faut utiliser la forme suivante de la transformation de Lorentz et prendre la limite lorsque c tend vers l’infini :

e) L’angle theta (en radian) s’obtient avec la relation :

N. B. La fonction N permet d’obtenir la valeur numérique approchée de l’angle. Si on ne l’utilise pas Mathematica laisse l’entrée inchangée (valeur exacte).

En degré :