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Dynamique du solide rigide

Rotation et oscillation

Moment de force, moment d’inertie

vendredi 23 mars 2007, par Bernard Vuilleumier

– Champ : dynamique du solide rigide
– Documents autorisés : Tables numériques CRM. Calculette.

Énoncé

Un dispositif formé de deux sphères reliées par une tige horizontale peut tourner librement sans frottement autour d’un axe vertical.

Dispositif
Les deux sphères et la tige cylindrique qui les relie sont pleines. L’axe de rotation est un cylindre creux à paroi mince.

Question 1 (8 points)

  1. Exprimez le moment d’inertie de chaque composant par rapport à l’axe.
  2. Donnez l’expression du moment d’inertie total du dispositif.
  3. Calculez ces moments d’inertie ainsi que le moment d’inertie total.

Question 2 (9 points)

On exerce un couple de force constant de moment \mathcal{M} sur l’axe vertical du dispositif initialement immobile.

  1. Exprimez l’accélération angulaire du dispositif.
  2. Calculez cette accélération angulaire. [1]
  3. Exprimez la vitesse angulaire \omega en fonction du temps.
  4. Calculez cette vitesse angulaire après 1 seconde.
  5. Exprimez l’angle de rotation \theta en fonction du temps.
  6. Calculez l’angle décrit par le dispositif après 1 seconde.

Question 3 (8 points)

On associe un ressort spiral qui exerce un couple de rappel de moment \mathcal{M}_{rappel}=-C\theta sur l’axe lorsqu’il a tourné d’un angle \theta. On écarte le dispositif d’un angle \theta_{max} de sa position d’équilibre avant de livrer le système à lui-même.

  1. Exprimez l’évolution de l’écart angulaire \theta(t).
  2. Donnez la période d’oscillation du dispositif.
  3. Calculez cette période pour C=8.68 \times 10^{-3} Nm.
  4. Exprimez la vitesse angulaire maximale \omega_{max} du dispositif.
  5. Calculez cette vitesse \omega_{max} pour une amplitude angulaire \theta_{max}=90°.
Oscillations harmoniques
La période d’oscillation est donnée par T=2\pi\sqrt{\frac{I}{C}} où I est le moment d’inertie du dispositif et C la constante du couple de rappel.

Données numériques
– rayon des sphères r_s=2 cm
– masse volumique des sphères \rho_s=7.86 g/cm3
– longueur de la tige reliant les deux sphères 2{h}=10 cm
– masse volumique de la tige \rho_{tige}=7.1 g/cm3
– masse de l’axe de rotation m_{axe}=300 g
– rayon de la tige et rayon de l’axe r= 3 mm
– moment du couple exercé sur l’axe \mathcal{M}=2 \times 10^{-3} Nm

[1] Si vous n’avez pas réussi à obtenir le moment d’inertie, utilisez la valeur suivante pour répondre à cette question $I=4\times 10^-3$ kgm2