Accueil > Ressources > Physique 4e année > Énergie et quantité de mouvement relativistes

Relativité restreinte

Énergie et quantité de mouvement relativistes

Définition du vecteur énergie - quantité de mouvement à partir de l’intervalle

mardi 25 novembre 2008, par Bernard Vuilleumier

L’énergie et la quantité de mouvement relativistes peuvent se définir à partir d’un diagramme d’espace temps et de la masse postulée comme invariante. En comparant les expressions obtenues aux expressions classiques, on met en évidence les nouveautés conceptuelles de la relativité restreinte.

Traçons, dans un diagramme d’espace temps Σ [1], la ligne d’univers d’une particule et considérons deux événements sur cette ligne. Ces événements sont séparés spatialement par dx et temporellement par dt. Dans le système Σ’ lié à la particule, ces deux événements sont séparés temporellement par dτ. La ligne d’univers de la particule est l’axe temporel du système Σ’

Multiplions chaque côté du triangle rectangle par une constante m :

Puis divisons ces mêmes côtés par la longueur du segment dτ :

On appelle vecteur énergie-quantité de mouvement l’hypoténuse du triangle. La quantité de mouvement p de la particule est définie par sa composante spatiale et l’énergie E par sa composante temporelle :

p=m\frac{dx}{d\tau}
E=m\frac{dt}{d\tau}

La quantité \sqrt{E^2-p^2} associée au vecteur énergie-quantité de mouvement est la masse de la particule. Cette quantité est invariante comme l’intervalle dτ qui a permis de l’obtenir :

m=\sqrt{E^2-p^2}

Exprimons maintenant, la quantité de mouvement p et l’énergie E de la particule en utilisant la définition de l’intervalle dτ :

d\tau=\sqrt{dt^2-dx^2}

p=m\frac{dx}{\sqrt{dt^2-dx^2}}=m\frac{dx}{dt}\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{dx}{dt})^2}}=mv\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}

E=m\frac{dt}{\sqrt{dt^2-dx^2}}=m\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}

Remarques
– La quantité de mouvement relativiste tend, pour les faibles vitesses β, vers l’expression classique p=mv. C’est pour conserver une définition analogue à la définition classique (masse × vitesse) que certains ouvrages parlent parfois d’une masse variable avec la vitesse :
m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\beta^2}}
où m0 serait la masse au repos et écrivent :
p=\frac{m_0v}{\sqrt{1-\beta^2}}=mv
– En développant en série l’expression de l’énergie E, on obtient :

E=m(1+\frac{\beta ^2}{2}+O[\beta ]^3)

Le premier terme correspond à l’énergie de masse et le second à l’énergie cinétique.

En résumé
Il est possible, à partir d’un diagramme d’espace temps, de la définition d’un intervalle et de quelques transformations algébriques, d’obtenir les expressions relativistes de la quantité de mouvement et de l’énergie d’une particule de masse m. Ces expressions mettent en évidence deux nouveautés conceptuelles de la relativité restreinte :

  1. le temps ne s’écoule pas de la même manière dans le référentiel du laboratoire et dans celui de la particule [2] :
    \frac{dt}{d\tau}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=\gamma
  2. la particule possède une énergie même lorsque sa vitesse est nulle, énergie donnée par le premier terme du développement en série et qui correspond, lorsqu’on travaille en unités SI, à la célèbre formule :
    E=mc^2

Voir, sur la relativité restreinte :
S. M. Blinder, Minkowski Spacetime
S. M. Blinder, Relativistic Time Dilation in Muon Decay
Pascal Rebetez, Relativité restreinte et diagrammes d’espace-temps
Kenny F. Stephens II, Spacetime Diagram
Bernard Vuilleumier, Contraction des longueur et dilatation du temps
Enrique Zeleny, Russell’s Thought Experiment in Special Relativity

Comment utiliser les fichiers interactifs du Wolfram Demontration Project

[1] Dans ce diagramme les distances et le temps sont exprimés en m et la vitesse est sans dimension :

\frac{dx}{dt}=\beta=\frac{v}{c}.

[2] Les grandeurs $\beta$ comprise entre -1 et 1 et $\gamma$ qui varie de 1 à l’infini, toutes deux sans dimension, permettent d’écrire la matrice de passage d’un référentiel d’inertie à un autre (transformation de Lorentz) sous une forme symétrique et très concise :

\begin{pmatrix}{\gamma & -\beta\gamma \cr -\beta\gamma & \gamma}\end{pmatrix}

Cette matrice peut aussi s’écrire en recourant aux fonctions hyperboliques, ce qui autorise une comparaison avec une matrice de rotation.

Messages

  • Quelques suggestions :

    1) Dans le texte d’introdction, remplacer "et de la masse considérée comme invariante" par "et de la masse postulée comme invariante".

    2) Le triangle de la figure 3 doit avoir des côtés de longueurs différentes de ceux de la figure 2 puisque ces derniers ont été divisés par d(tau).

    3) Au lieu de dire que la composante spatiale du (quadri) vecteur (E,p) est la quantité de mouvement, peut-être faudrait-il dire qu’elle est définie comme la quantité de mouvement et que le bien-fondé de cette définition apparaîtra par la suite. Même remarque pour la composante temporelle de (E,p).

    4) Le terme de "norme" (du vecteur (E,p)) que l’on associe à un intervalle dans l’espace-temps, est un passage délicat (risque de confusion avec la norme euclidienne dans l’espace). Peut-être cela nécessiterait-il quelques précisions.

    Cordialement.

    Pascal

    • Merci pour ces remarques pertinentes, j’ai modifié le texte dans le sens suggéré. Pour les figures, j’avais utilisé des longueurs différentes dans les images de la première présentation, mais je les trouvais inesthétiques ! Elles étaient plus petites (et moins lisibles en cas de projection) et disproportionnées par rapport aux axes. Comme il n’y a aucune graduation sur ces derniers, il n’y a pas d’incompatibilité : disons que ce sont les axes qui se sont contractés lors du passage de la figure 1 à la figure 2 (multiplication par m>1 ) et dilatés lors du passage de la figure 2 à la figure 3 (division par dτ>1). On pourrait aussi admettre que m=1 unité et dτ=1 mètre.

      N. B. Le fichier joint donne le code Mathematica permettant de réaliser les figures et de modifier leur taille en cas de besoin.