Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique et magnétique

Dynamique
mercredi 18 janvier 2006
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Lorsqu’une particule chargée se déplace dans une région de l’espace où règnent un champ électrique et un champ magnétique constants et perpendiculaires entre eux, elle peut décrire différents types de trajectoires. Nous proposons ici de construire un modèle STELLA permettant de simuler ces mouvements et de résoudre avec Mathematica le système d’équations différentielles donnant la trajectoire puis de la représenter en 3 dimensions.

Lorsqu’une particule de masse m et de charge q animée d’une vitesse \vec{v} est soumise à l’action d’un champ électrique \vec{E} et d’un champ magnétique \vec{B} tous deux constants ainsi qu’à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse, la somme des forces qu’elle subit, qui est égale au produit de sa masse par son accélération, s’écrit :

q(\vec E+\vec v \times \vec B)-k \vec v= m\vec a

Questions

  1. Donnez l’expression de la force électrique subie par une particule de charge q placée dans un champ électrique \vec{E}. Cette force dépend-elle de la vitesse \vec{v} de la particule ?
  2. Une particule de charge q se délace à la vitesse \vec{v} dans un champ magnétique \vec{B}. Donnez la direction et le sens de la force qu’elle subit. Exprimez la grandeur de cette force.
  3. Dans quel cas une particule chargée se déplaçant dans un champ magnétique n’est-elle soumise à aucune action de la part de ce champ ?
  4. Une particule se déplaçant sans subir de frottement dans un champ électrique \vec{E} perpendiculaire à un champ magnétique \vec{B}, les deux champs étant constants, peut-elle être animée d’un mouvement rectiligne uniforme ? Dans quelles conditions ?

Activité
- Exprimez l’équation vectorielle ci-dessus en composantes selon Ox, Oy et Oz lorsque le champ électrique est selon Oz, et le champ magnétique selon Ox.
- Construisez un modèle Stella permettant d’obtenir la trajectoire de la particule.
- Représentez dans les plans xy, yz et xz l’allure du mouvement de la particule sans, puis avec force de frottement, dans les cas suivants :
1. champ électrique seulement, parallèle à Oz, champ magnétique nul.
2. champ magnétique seulement, parallèle à Ox, champ électrique nul.
3. champ électrique et champ magnétique différents de 0 et perpendiculaires entre eux.

- Résolvez le système d’équations différentielles avec Mathematica puis représentez en 3 dimensions la trajectoire décrite par la particule dans les différents cas envisagés.


Documents joints

Particule dans un champ électromagnétique
Particule dans un champ électromagnétique